Beranda
Kelas 10
Matematika

Mengenal Identitas Trigonometri

Pembahasan lebih lanjut mengenai Identitas Trigonometri beserta contoh soal dan jawaban. Materi Matematika kelas 10

Kali ini kita akan mengupas materi mengenai Identitas Trigonometri. Materi ini akan ditemui saat kelas 10, Materi ini cukup penting dikuasai karena akan semakin meluas pembahasan ya ditingkat lanjut. Untuk memahaminya Bimbel Hatowida telah membuat, merangkum dan memberikan contoh soal beserta jawabannya agar bisa kita pelajari bersama

Pengertian

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Perbandingan trigonometri adalah rasio antara sisi-sisi segitiga siku-siku yang berhubungan dengan sudutnya. 
Belajar identitas trigonometri memiliki beberapa fungsi, antara lain

- Meningkatkan kemampuan berpikir logis dan analitis, karena identitas trigonometri melibatkan proses pembuktian, penyederhanaan, dan penyelesaian yang membutuhkan alur berpikir yang sistematis dan konsisten.
- Mempermudah penghitungan nilai perbandingan trigonometri dari suatu sudut, karena identitas trigonometri dapat mengubah bentuk perbandingan trigonometri menjadi lebih sederhana atau lebih mudah dicari nilainya.
- Menjembatani konsep-konsep matematika lainnya, seperti geometri, aljabar, kalkulus, dan fisika, karena identitas trigonometri sering digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan sudut, segitiga, lingkaran, fungsi, turunan, integral, gerak, gaya, dan lain-lain

Belajar identitas trigonometri juga dapat memberikan manfaat lain yang tidak langsung terkait dengan matematika, seperti:

- Meningkatkan daya ingat dan konsentrasi, karena identitas trigonometri membutuhkan hafalan rumus-rumus dan penerapan yang tepat sesuai dengan kondisi soal.
- Meningkatkan kreativitas dan inovasi, karena identitas trigonometri dapat menginspirasi untuk menciptakan rumus-rumus baru atau menemukan cara-cara baru untuk menyelesaikan masalah-masalah yang kompleks.
- Meningkatkan rasa percaya diri dan kepuasan diri, karena identitas trigonometri dapat memberikan tantangan dan kesenangan bagi mereka yang suka dengan matematika

Contoh penerapan identitas trigonometri dalam kehidupan sehari-hari adalah:

- Mengukur ketinggian pohon, gedung, tiang bendera, atau objek lain yang sulit dijangkau dengan menggunakan sudut elevasi atau depresi dan jarak horizontal dari titik pengamatan. Misalnya, jika kita ingin mengetahui tinggi pohon yang berjarak 10 meter dari kita dan sudut elevasi mata kita terhadap puncak pohon adalah 30°, maka kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\tan 30° = \frac{a}{10}$, di mana $a$ adalah tinggi pohon. Dengan demikian, kita bisa mendapatkan $a = 10 \tan 30° \approx 5,77$ meter.
- Menghitung jarak antara dua titik yang tidak sejajar dengan menggunakan sudut antara garis yang menghubungkan kedua titik tersebut dengan garis horizontal atau vertikal. Misalnya, jika kita ingin mengetahui jarak antara dua gedung yang tingginya 20 meter dan 30 meter, dan sudut antara garis yang menghubungkan kedua gedung tersebut dengan garis horizontal adalah 60°, maka kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\sin 60° = \frac{30 - 20}{b}$, di mana $b$ adalah jarak antara kedua gedung. Dengan demikian, kita bisa mendapatkan $b = \frac{10}{\sin 60°} \approx 11,55$ meter.
- Mengatur kemiringan jalan, jembatan, atap rumah, atau bangunan lain agar sesuai dengan standar keamanan dan estetika dengan menggunakan sudut antara permukaan miring tersebut dengan permukaan datar. Misalnya, jika kita ingin membuat atap rumah yang panjangnya 15 meter dan tingginya 5 meter, maka kita bisa menggunakan identitas trigonometri $\tan A = \frac{5}{15}$, di mana $A$ adalah sudut kemiringan atap. Dengan demikian, kita bisa mendapatkan $A = \tan^{-1} \frac{5}{15} \approx 18,43°$


Rumius Trigonometri

Ada enam perbandingan trigonometri, yaitu sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Rumus perbandingan trigonometri adalah sebagai berikut:

$$\sin A = \frac{a}{c}$$
$$\cos A = \frac{b}{c}$$
$$\tan A = \frac{a}{b}$$
$$\sec A = \frac{c}{b}$$
$$\csc A = \frac{c}{a}$$
$$\cot A = \frac{b}{a}$$

Di mana $A$ adalah sudut yang diukur, $a$ adalah sisi seberang sudut $A$, $b$ adalah sisi samping sudut $A$, dan $c$ adalah sisi miring atau hipotenusa. 


Ada beberapa jenis identitas trigonometri yang sering digunakan dalam matematika, yaitu:
  • Identitas ganjil genap: Identitas ini menunjukkan hubungan antara perbandingan trigonometri dari sudut positif dan negatif. Contohnya:
    $$\sin (-A) = -\sin A$$
    $$\cos (-A) = \cos A$$
    $$\tan (-A) = -\tan A$$
  • Identitas kofungsi: Identitas ini menunjukkan hubungan antara perbandingan trigonometri dari sudut komplementer (jumlahnya 90°). Contohnya:
    $$\sin (90° - A) = \cos A$$
    $$\cos (90° - A) = \sin A$$
    $$\tan (90° - A) = \cot A$$
  • Identitas Pythagoras: Identitas ini menunjukkan hubungan antara perbandingan trigonometri dari suatu sudut dengan teorema Pythagoras. Contohnya:
    $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$
    $$1 + \tan^2 A = \sec^2 A$$
    $$1 + \cot^2 A = \csc^2 A$$
  • Identitas sudut ganda: Identitas ini menunjukkan hubungan antara perbandingan trigonometri dari sudut ganda (dua kali lipat) dengan perbandingan trigonometri dari sudut tunggal. Contohnya:
    $$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$
    $$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$$
    $$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$$
Identitas trigonometri berguna untuk membuktikan kesamaan, menyederhanakan ekspresi, menyelesaikan persamaan, dan menghitung nilai perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Untuk lebih memahami materi ini, Anda bisa melihat contoh soal berikut:

Contoh Soal

    Perhatikan dan pelajari
    1. Buktikan identitas trigonometri berikut. $\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2$ A
    Jawab:
    Identitas trigonometri yang digunakan:
    $\boxed{\begin{aligned} \cos x & = \dfrac{1}{\sec x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$
    Pembuktian dari ruas kiri:
    $\begin{aligned} \dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} & = \dfrac{2}{\sec^2 A}- \dfrac{\sec^2 A} {\sec^2 A} \\ & = 2(\cos^2 A) -1 \\ & = 2(1 -\sin^2 A) -1 \\ & = 1 -2 \sin^2 A \end{aligned}$
    Jadi, terbukti bahwa $\dfrac{2 -\sec^2 A} {\sec^2 A} = 1 -2 \sin^2 A.$

    2. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $(\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 = 4 \sin A \cos A$
    Jawab: 
    Pembuktian dari ruas kiri:
    $\begin{aligned} & (\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 \\ =& (\cancel{\sin^2 A} + 2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A} ) \\ & -(\cancel{\sin^2 A} -2 \sin A \cos A + \bcancel{\cos^2 A}) \\ = & 2 \sin A \cos A -(-2 \sin A \cos A) \\ = & 4 \sin A \cos A \end{aligned}$
    Jadi, terbukti bahwa
    $(\sin A + \cos A)^2 -(\sin A -\cos A)^2 = 4 \sin A \cos A.$

    3. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta$
    Jawab:
    Identitas yang digunakan:
    $\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x &= 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \\ \dfrac{1}{\sec x} & = \cos x && (\text{Identitas Kebalikan}) \end{aligned}}$
    Pembuktian dari ruas kiri:
    $\begin{aligned} \dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} & = \dfrac{\sec^2 \theta} {\sec^2 \theta} -\dfrac{1}{\sec^2 \theta} \\ & = 1 -\cos^2 \theta \\ & = \sin^2 \theta \end{aligned}$
    Jadi, terbukti bahwa
    $\dfrac{\sec^2 \theta -1}{\sec^2 \theta} = \sin^2 \theta.$

    4. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\dfrac{\sin A} {1 -\cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}$
    Jawab:
    Identitas yang digunakan adalah Identitas Pythagoras, yaitu
    $\boxed{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$
    Pembuktian dari ruas kiri:
    $\begin{aligned} \dfrac{\sin A} {1 -\cos A} & = \dfrac{\sin A} {1 -\cos A} \times \dfrac{1 + \cos A} {1 + \cos A} \\ & = \dfrac{\sin A(1 + \cos A)} {1 -\cos^2 A} \\ & = \dfrac{\cancel{\sin A}(1 + \cos A)} {\sin^{\cancel{2}} A} \\ & = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A} \end{aligned}$
    Jadi, terbukti bahwa
    \dfrac{\sin A} {1 -\cos A} = \dfrac{1 + \cos A} {\sin A}.

    5. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\sin A + \cos A \cot A = \csc A$
    Jawab:
    Identitas yang digunakan:
    $\boxed{\begin{aligned} \cot x & = \dfrac{\cos x} {\sin x} && (\text{Identitas Perbandingan}) \\ \csc x & = \dfrac{1}{\sin x} && (\text{Identitas Kebalikan}) \\ \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 && (\text{Identitas Pyt}\text{hagoras}) \end{aligned}}$
    Pembuktian dari ruas kiri:
    $\begin{aligned} \sin A + \cos A \cot A & = \sin A + \cos A \left(\dfrac{\cos A} {\sin A}\right) \\ & = \sin A + \dfrac{\cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{\sin^2 A + \cos^2 A} {\sin A} \\ & = \dfrac{1}{\sin A} = \csc A \end{aligned}$
    Jadi, terbukti bahwa
    $\sin A + \cos A \cot A = \csc A.$

    Bagaimana? Sudah mulai dipahami contoh soal dan jawaban diatas?
    Sekarang, mari kita coba fokus latihan. Bimbel Hatowida memberikan soal dibawah, dan silahkan dijawab. Jika ada yang tidak mengerti silahkan tanyakan di kolom komentar maupun pada Guru di tempat bimbel. Selamat berlatih!

Latihan Soal

    Silahkan berlatih
    1. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\csc A + \cot A = \dfrac{\sin A} {1- \cos A}$

    2. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\sin A \csc A -\sin^2 A = \cos^2 A$

    3. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $(\csc A + \cot A)(1 -\cos A) = \sin A$

    4. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\tan^2 A -\sin^2 A = \tan^2 A \sin^2 A$

    5. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\tan A \cos^4 A + \cot A \sin^4 A = \sin A \cos A$

    6. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\dfrac{\sin^2 A} {\cos^2 A} -\dfrac{\cos^2 A} {\sin^2 A} = \sec^2 A -\csc^2 A$

    7. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\dfrac{\sin^2 A -\sin^2 B} {\cos^2 A \cos^2 B} = \tan^2 A -\tan^2 B$

    8. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\cos^2 A + \cot^2 A \cos^2 A = \cot^2 A$

    9. Buktikan identitas trigonometri berikut
    $\dfrac{1 + \sec A} {\tan A + \sin A} = \csc A$

    10. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\dfrac{1 + \sin x} {1 -\sin x} = (\sec x + \tan x)^2$

    11. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\tan A = \dfrac12 \sin 2A(1+\tan^2 A)$

    12. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\tan^2 A = 1 -\cos 2A(1 + \tan^2 A)$

    13. Buktikan identitas trigonometri berikut. 
    $\tan^6 A = \tan^4 A \cdot \sec^2 A -\tan^2 A \cdot \sec^2 A + \sec^2 A -1$

    14.Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\tan (A -B) = \dfrac{\sin 2A -\sin 2B} {\cos 2A + \cos 2B}$

    15.Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\cot 2A = \dfrac{\sin A -\sin 3A} {\cos 3A -\cos A}$

    16. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{1 -\cos 2A + \sin A} {\sin 2A + \cos A} =\tan A$

    17. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\csc 2A + \cot 2A = \cot A$

    18. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{2 \sin (A-B)} {\cos (A-B)-\cos (A+B)} = \cot B -\cot A$

    19. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\tan A -\cot A = \dfrac{1 -2 \cos^2 A} {\sin A \cos A}$

    20. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $1 -\tan^2 A= \cos 2A \sec^2 A$

    21. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} + \dfrac{\cos \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} {\sin \left(A + \frac{\pi} {4}\right)} = 2 \sec 2A$

    22. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{\sin 4A} {1 + \cos 4A} = \tan 2A$

    23. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\begin{aligned} (\cos 2a + \cos 4a & + \cos 6a) \sin a \\ & = \cos 4a \sin 3a \end{aligned}$

    24. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $2 \sin A \cos (A + 30^{\circ}) = \sin(2A + 30^{\circ}) -\dfrac12$

    25. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4} + A\right) \cos \left(\dfrac{3\pi}{4} -A \right) = -1 +\sin 2A$

    26. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\begin{aligned} \sin^4 x -\cos^4 x & = 1 -2(\sin x \cos x)^2\\ &  -2 \cos^4 x \end{aligned}$

    27. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\cos^6 x + 3 \sin^2 x \cos^2 x + \sin^6 x = 1$

    28. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{\tan x-\sin x}{\sin^3 x} = \dfrac{1}{\cos x(1 + \cos x)}$

    29. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\begin{aligned} & \dfrac{\cot x-\tan x}{(\cos x-\sin x)(\cot x+\tan x)} \\ & = \sin x + \cos x \end{aligned}$

    30. Buktikan identitas trigonometri berikut.
    $\dfrac{(\tan x-1)(\tan x + \cot x)}{\tan x- \cot x} = \dfrac{\tan^2 x+1}{\tan x +1}$

    31. Buktikan bahwa
    $\sin^6 A + \cos^6 A + \dfrac34 \sin^2 2A = 1$

    32. Buktikan bahwa
    $\sqrt{\sin^4 x + 4 \cos^2 x}-\sqrt{\cos^4 x + 4 \sin^2 x} = \cos 2x.$

    Jawaban Latihan Soal

    Seluruh jawaban latihan soal telah dirangkum dan dijabarkan dibawah, hubungi Guru Bimbel Hatowida untuk mengetahui password.

    Masukkan password untuk melihat

Getting Info...
#Kelas 10 #Matematika

Posting Komentar

Harap bijaklah dalam berkomentar, tidak melakukan spam, iklan, link, provokasi, hoax, sara, pornograpi, berkata kasar, ujaran kebencian dan semua hal secara umum yang dilarang.
Pemberitahuan Cookie
Kami mengelola cookie untuk menyimpan pengaturan anda demi meningkatkan kemudahan anda pada situs ini, mohon "Accept" sehingga anda tidak perlu mengatur ulang settingan (seperti tema mode gelap/terang, bookmark artikel, terjemahan dll) ketika anda berkunjung kembali setelahnya. Anda dapat me-reset pengaturan anda dengan menghapus cookie pada peramban anda.
More Details
Oops!
Ada yang salah dengan koneksi internet anda. Silahkan cek koneksi untuk kembali terhubung dan melanjutkan.
AdBlock Detected!
Kami mendeteksi anda menggunakan plugin AdBlock.
Harap matikan AdBlock anda untuk melanjutkan, Untuk bantuan silahkan hubungi Telegram @utakandila