Menghitung Persamaan Kuadrat sumbu berpotongan dan titik puncak, Penjelasan dan contoh soal

Untuk menghitung persamaan kuadrat jika diketahui sumbu x memotong sumbu y dan titik puncaknya, kita bisa menggunakan bentuk fungsi kuadrat yang didasarkan pada titik puncak grafiknya, yaitu: $$f(x) = a(x - x_p)^2 + y_p$$ di mana $(x_p, y_p)$ adalah koordinat titik puncak, dan $a$ adalah koefisien variabel $x^2$. Nilai $a$ bisa ditentukan dengan menggunakan rumus: $$a = \frac{y - y_p}{(x - x_p)^2}$$ di mana $(x, y)$ adalah koordinat titik potong sumbu x atau sumbu y. Jika sumbu x memotong sumbu y, maka salah satu titik potongnya adalah $(0, 0)$. Jadi kita bisa menggunakan rumus tersebut dengan mengganti $x$ dan $y$ dengan nol. Misalnya, jika diketahui titik puncaknya adalah $(2, -3)$, maka kita bisa menghitung: $$a = \frac{0 - (-3)}{(0 - 2)^2}$$ $$a = \frac{3}{-4}$$ $$a = -\frac{3}{4}$$ Setelah mendapatkan nilai $a$, kita bisa menulis persamaan kuadratnya sebagai: $$f(x) = -\frac{3}{4}(x - 2)^2 - 3$$ 

Contoh Soal:

1. Diketahui persamaan kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memiliki titik puncak $(-2, 3)$ dan sumbu $y$ berpotongan di $(0, -5)$. Tentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.
2. Diketahui persamaan kuadrat $y = x^2 - 4x + 3$ memiliki titik potong dengan sumbu $x$ di $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$. Tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$.
3. Diketahui persamaan kuadrat $y = -x^2 + 4x - 3$ memiliki titik potong dengan sumbu $x$ di $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$. Tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$.
4. Diketahui persamaan kuadrat $y = -x^2 + 6x - 8$ memiliki titik potong dengan sumbu $x$ di $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$. Tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$
5. Diketahui persamaan kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memiliki titik puncak $(2, -3)$ dan sumbu $x$ berpotongan di $(0, 6)$. Tentukan nilai $a$, $b$, dan $c$
6. Diketahui persamaan kuadrat $y = x^2 - 6x + 8$ memiliki titik potong dengan sumbu $x$ di $(x_1, 0)$ dan $(x_2, 0)$. Tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$
7. Diketahui persamaan kuadrat $y = -x^2 + 4x - 3$.Tentukan titik puncaknya
8. Diketahui persamaan kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memiliki titik puncak $(1, -2)$ dan sumbu $x$ berpotongan di $(0, 3)$. Tentukan nilai $a$, $b$, dan $c$
9. Diketahui persamaan kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan sumbu $y$ berpotongan di $(0, 3)$. Tentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.
10. Diketahui persamaan kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ memiliki titik puncak $(2, 5)$ dan sumbu $x$ berpotongan di $(1, 0)$ dan $(3, 0)$. Tentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.

Penyelesaian: 

1. Karena titik puncak adalah $(-2, 3)$, maka kita dapat menulis: $- \frac{b}{2a} = -2$ $3 = - \frac{b^2}{4a} + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat menyelesaikan untuk $b$: $b = 4a$ Substitusikan ke persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk $c$: $3 = - \frac{(4a)^2}{4a} + c$ $c = 3 + 4a$ Karena sumbu $y$ berpotongan di $(0, -5)$, maka kita dapat menulis: $-5 = a(0)^2 + b(0) + c$ $-5 = c$ Substitusikan nilai $c$ yang sudah kita dapatkan, kita dapat menyelesaikan untuk $a$: $-5 = 3 + 4a$ $a = -2$ Dengan demikian, nilai $b$ dan $c$ adalah: $b = 4(-2) = -8$ $c = -5$ Jadi, persamaan kuadratnya adalah: $y = -2x^2 - 8x - 5$
2. Untuk mencari nilai $x_1$ dan $x_2$, kita dapat menggunakan rumus abc, yaitu: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dengan $a = 1$, $b = -4$, dan $c = 3$, kita dapat menghitung: $$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Jadi, nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah: $$x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$
3. Untuk mencari nilai $x_1$ dan $x_2$, kita dapat menggunakan rumus abc, yaitu: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dengan $a = -1$, $b = 4$, dan $c = -3$, kita dapat menghitung: $$x_{1,2} = \frac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)}$$ $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2}$$ $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2}$$ $$x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2}{-2}$$ Jadi, nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah: $$x_1 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3$$
4. Untuk mencari nilai $x_1$ dan $x_2$, kita dapat menggunakan rumus abc, yaitu:$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dengan $a = -1$, $b = 6$, dan $c = -8$, kita dapat menghitung: $$x_{1,2} = \frac{-(6) \pm \sqrt{(6)^2 - 4(-1)(-8)}}{2(-1)}$$ $$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{-2}$$ $$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{-2}$$ $$x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2}{-2}$$ Jadi, nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah: $$x_1 = \frac{-6 + 2}{-2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-6 - 2}{-2} = 4$$
5. Karena titik puncak adalah $(2, -3)$, maka kita dapat menulis: $- \frac{b}{2a} = 2$ $-3 = - \frac{b^2}{4a} + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat menyelesaikan untuk $b$: $b = 4a$ Substitusikan ke persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk $c$: $-3 = - \frac{(4a)^2}{4a} + c$ $c = -3 + 4a$ Karena sumbu $x$ berpotongan di $(0, 6)$, maka kita dapat menulis: $6 = a(0)^2 + b(0) + c$ $6 = c$ Substitusikan nilai $c$ yang sudah kita dapatkan, kita dapat menyelesaikan untuk $a$: $6 = -3 + 4a$ $a = \frac{9}{4}$ Dengan demikian, nilai $b$ dan $c$ adalah: $b = 4(\frac{9}{4}) = 9$ $c = 6$ Jadi, persamaan kuadratnya adalah: $y = \frac{9}{4}x^2 + 9x + 6$
6. Untuk mencari nilai $x_1$ dan $x_2$, kita dapat menggunakan rumus abc, yaitu:$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Dengan $a = 1$, $b = -6$, dan $c = 8$, kita dapat menghitung: $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$$ $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$$ $$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x_{1,2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Jadi, nilai $x_1$ dan $x_2$ adalah: $$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$$
7. Untuk mencari titik puncak dari persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan rumus berikut: $$x_p = -\frac{b}{2a}$$ $$y_p = -\frac{b^2}{4a} + c$$ Keterangan: $x_p$ dan $y_p$ adalah koordinat titik puncak. $a$, $b$, dan $c$ adalah koefisien dan konstanta dari persamaan kuadrat. Dalam soal ini, kita dapat mengidentifikasi bahwa: $a = -1$ $b = 4$ $c = -3$ Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus, kita dapat menghitung: $$x_p = -\frac{4}{2(-1)} = 2$$ $$y_p = -\frac{4^2}{4(-1)} + (-3) = -7$$ Jadi, titik puncak dari persamaan kuadrat tersebut adalah $(2, -7)$
8. Karena titik puncak adalah $(1, -2)$, maka kita dapat menulis: $- \frac{b}{2a} = 1$ $-2 = - \frac{b^2}{4a} + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat menyelesaikan untuk $b$: $b = 2a$ Substitusikan ke persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk $c$: $-2 = - \frac{(2a)^2}{4a} + c$ $c = -2 + a$ Karena sumbu $x$ berpotongan di $(0, 3)$, maka kita dapat menulis: $3 = a(0)^2 + b(0) + c$ $3 = c$ Substitusikan nilai $c$ yang sudah kita dapatkan, kita dapat menyelesaikan untuk $a$: $3 = -2 + a$ $a = 5$ Dengan demikian, nilai $b$ dan $c$ adalah: $b = 2(5) = 10$ $c = 3$ Jadi, persamaan kuadratnya adalah: $y = 5x^2 + 10x + 3$
9. Karena titik puncak adalah $(-1, 4)$, maka kita dapat menulis:$- \frac{b}{2a} = -1$ $4 = - \frac{b^2}{4a} + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat menyelesaikan untuk $b$: $b = 2a$ Substitusikan ke persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk $c$: $4 = - \frac{(2a)^2}{4a} + c$ $c = 4 + a$ Karena sumbu $y$ berpotongan di $(0, 3)$, maka kita dapat menulis: $3 = a(0)^2 + b(0) + c$ $3 = c$ Substitusikan nilai $c$ yang sudah kita dapatkan, kita dapat menyelesaikan untuk $a$: $3 = 4 + a$ $a = -1$ Dengan demikian, nilai $b$ dan $c$ adalah: $b = 2(-1) = -2$ $c = 3$ Jadi, persamaan kuadratnya adalah: $y = -x^2 - 2x + 3$
10. Karena titik puncak adalah $(2, 5)$, maka kita dapat menulis: $- \frac{b}{2a} = 2$ $5 = - \frac{b^2}{4a} + c$ Dari persamaan pertama, kita dapat menyelesaikan untuk $b$: $b = 4a$ Substitusikan ke persamaan kedua, kita dapat menyelesaikan untuk $c$: $5 = - \frac{(4a)^2}{4a} + c$ $c = 5 + 4a$ Karena sumbu $x$ berpotongan di $(1, 0)$ dan $(3, 0)$, maka kita dapat menulis: $a(1)^2 + b(1) + c = 0$ $a(3)^2 + b(3) + c = 0$ Dengan metode eliminasi, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan tersebut untuk $a$ dan $b$: $a + b + c = 0$ $9a + 3b + c = 0$ Mengurangi persamaan pertama dengan persamaan kedua, kita dapatkan: $-8a - 2b = 0$ $b = -4a$ Mengganti nilai $b$ dengan $-4a$, kita dapatkan: $a - 4a + c = 0$ $c = 3a$ Mengganti nilai $c$ dengan $3a$, kita dapatkan: $a - 4a + 3a = 0$ $a = 0$ Dengan demikian, nilai $b$ dan $c$ adalah: $b = -4(0) = 0$ $c = 3(0) = 0$ Jadi, persamaan kuadratnya adalah: $y = ax^2 + bx + c$ $y = (0)x^2 + (0)x + (0)$ $y = 0$