Vektor a dan b memiliki sudut apit θ, jika a + b = 3i + 4j dan a - b = 3i - 4j, besar θ adalah: a. 90 derajat, b. 60 derajat, c. 45 derajat d. 30 derajat dan e. 0 derajat
Jawab
Besar sudut θ antara vektor **a** dan **b** dapat kita cari dengan menggunakan rumus berikut:
\[ \cos(\theta) = \frac{{a \cdot b}}{{\|a\| \cdot \|b\|}} \]
Dengan informasi yang diberikan, kita memiliki:
1. \(a + b = 3i + 4j\)
2. \(a - b = 3i - 4j\)
Mari kita cari nilai dari \(a \cdot b\):
\[ a \cdot b = (3i + 4j) \cdot (3i - 4j) = 9i^2 - 16j^2 = 9 - 16 = -7 \]
Selanjutnya, kita perlu menghitung panjang vektor \(a\) dan \(b\):
\[ \|a\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
\[ \|b\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5 \]
Sekarang kita dapat menghitung nilai \(\cos(\theta)\):
\[ \cos(\theta) = \frac{{-7}}{{5 \cdot 5}} = -\frac{7}{25} \]
Untuk menentukan besar sudut \(\theta\), kita gunakan invers dari fungsi kosinus:
\[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{25}\right) \]
Menghitung nilai ini, kita temukan bahwa besar sudut \(\theta\) adalah sekitar 60 derajat. Jadi jawabannya adalah **b. 60 derajat**