Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran \( x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0 \) di titik \( (7, -5) \), kita bisa menggunakan rumus garis singgung lingkaran:
\[ x_1x + y_1y + A \left(\frac{x + x_1}{2}\right) + B \left(\frac{y + y_1}{2}\right) + C = 0 \]
Di mana:
- \( (x_1, y_1) \) adalah titik singgung, yaitu \( (7, -5) \)
- \( A = -6 \), \( B = 4 \), dan \( C = -12 \) dari persamaan lingkaran.
Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
\[ 7x - 5y - 6 \left(\frac{x + 7}{2}\right) + 4 \left(\frac{y - 5}{2}\right) - 12 = 0 \]
Sederhanakan persamaan:
\[ 7x - 5y - 3(x + 7) + 2(y - 5) - 12 = 0 \]
\[ 7x - 5y - 3x - 21 + 2y + 10 - 12 = 0 \]
Gabungkan dan sederhanakan:
\[ 4x - 3y - 23 = 0 \]
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik \( (7, -5) \) adalah:
\[ 4x - 3y - 43 = 0 \]
------------------
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 4x - 21 = 0 yanv melalui titik A (-5, 4) adalah?
Untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0\) yang melalui titik \(A(-5, 4)\), kita dapat menggunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran dalam bentuk umum \(Ax + By + C = 0\).
Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. **Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
- Persamaan lingkaran \(x^2 + y^2 + 4x - 21 = 0\) dapat ditulis ulang dalam bentuk standar \((x + 2)^2 + y^2 = 25\).
- Pusat lingkaran adalah \((-2, 0)\) dan jari-jari \(r = 5\).
2. **Gunakan rumus garis singgung:**
- Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik \(A(x_1, y_1)\) adalah \(x \cdot x_1 + y \cdot y_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0\), di mana \(g\) dan \(f\) adalah koefisien dari \(x\) dan \(y\) dalam persamaan lingkaran, dan \(c\) adalah konstanta.
3. **Substitusi nilai:**
- \(x_1 = -5\), \(y_1 = 4\), \(g = 2\), \(f = 0\), dan \(c = -21\).
- Persamaan garis singgungnya adalah:
\[x \cdot (-5) + y \cdot 4 + 2(x - 5) + 0(y + 4) - 21 = 0 \]
\[ -5x + 4y + 2x - 10 - 21 = 0 \]
\[ -3x + 4y - 31 = 0 \]
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik \(A(-5, 4)\) adalah:
\[ -3x + 4y - 31 = 0 \]